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추측 통계

모집단 전체를 모두 조사하는 방법을 전수조사(complete survey)라고 한다
전체에서 일부를 추출해 얻은 정보를 바탕으로 전체를 추측하는 방법을 표본조사(sample survey)라고 한다
모집단에서 일부를 추출할 때 비복원 추출이기 때문에 엄밀하게는 독립적인 시행이라고 할 수 없지만,
모집단의 크기가 표본의 크기와 비교해 충분히 큰 경우에는 복원 추출이라고 가정하며 결과적으로 추출을 독립 시행으로 바라본다
표본조사를 기반으로 하는 추측 통계 방법은 크게 추정(estimation)과 검정(test)으로 나뉜다
- 추정: 모집단에서 추출한 표본을 이용해 모집단의 모수(평균값, 표준편차 등)를 확률적으로 추측하는 방법
  - 점추정(point estimation): 표본 조사 결과를 가지고 모집단의 평균과 분산과 같은 값을 한 값으로 추정하는 경우
  - 구간추정(interval estimation): 평균과 분산과 같은 값의 폭을 추정하는 경우
- 검정: 표본을 토대로 모집단에 관한 가설을 세우고 참, 거짓을 판별하는 방법

모집단과 표본

발생확률이 수학적으로 p인 사건을 반복 시행할 때, n이 작으면 경험적 확률과 수학적 확률간의 차이가 크다
하지만 반복시행의 크기 n이 커지면, 경험적 확률이 수학적 확률에 수렴하게 된다(한없이 가까워진다)
모집단에 빨간색이 700개, 파란색이 300개 있었다면, 표본의 크기가 커질수록 표본집단에도 빨간색이 70%, 파란색이 30% 비율로 있게 된다
큰 수의 법칙: 표본의 크기가 커질수록 표본평균 E(X)는 모평균 m에 가까워진다
(표본의 크기가 크면 클수록 해당 표본에서 구한 평균이 실제 모평균일 가능성이 높아진다)

점추정: 표본에서 구한 추정값으로부터 모수값을 추정하는 방법
(즉, 표본 평균을 모평균으로, 표본 분산을 모분산으로 생각할 수 있을까?)
이에 대해 “예”라고 대답하기 위해서는 두 가지 조건을 만족해야 한다
- 비편향성: 기대값이 모수값과 같다
  - (표본평균의 평균이 모평균과 같으면 표본평균을 모평균이라고 할 수 있다)
  - (표본분산의 평균이 모분산과 같으면 표본분산을 모분산이라고 할 수 있다)
- 일치성: 표본의 크기가 커지면 모수값에 가까워진다
위에서 표본평균의 평균은 m 이고, 분산은 σ<sup2</sup>/n 이라고 배웠으므로, 표본평균을 모평균이라고 할 수 있다
이제 표본분산의 평균이 σ²과 같은지 확인해보자. 계산하면 (n-1/n)σ²이 나온다
그래서 비편향성을 가지지 않는다. 그래서 n/n-1 을 곱해 보정한 값을 비편향 분산이라고 하고, 보통 모분산을 (n/n-1)*S² 으로 한다 (S²는 표본분산)