![Statistics and Probability Series [Part3]: 확률(1) 확률 구하기](/images/probability_logo.jpeg){kind=logo}
Table of Contents
경우의 수
- 1회의 시행에서 일어날 수 있는 사건의 가짓수를 n이라고 할 때 이 때의 경우의 수를 n이라고 한다
곱의 법칙과 합의 법칙
- 곱의 법칙: A 사건과 B 사건을 하나의 사건 C로 묶으면, C 사건의 경우의 수는 두 사건의 경우의 수의 곱이다
- 합의 법칙: A 사건 또는 B 사건이 일어나는 사건을 C라고 하면, C 사건의 경우의 수는 두 사건의 경우의 수의 합이다
- 곱의 법칙: X에서 Z로 가는 사건은 X에서 Y로 가는 사건과 Y에서 Z로 가는 사건의 묶음이므로 경우의 수는 두 사건의 경우의 수의 곱인 12(3 X 4)이다
- 합의 법칙: X에서 Y로 가는 사건 또는 X에서 Z로 가는 사건을 하나의 사건으로 두면, 경우의 수는 두 사건의 경우의 수의 합인 4(3 + 1)이다
- 모자와 티는 곱의 법칙
- 반팔티와 긴팔티는 합의 법칙
순열
- 하나의 사건 안에 순서 개념이 포함된 경우, 그 사건 하나하나를 순열이라 한다
- 서로 다른 n개에서 서로 다른 r개를 뽑아 일렬로 나열하는 순열의 경우의 수를
nPr로 표기한다 - ex. 반에서 5명중 반장과, 부반장을 뽑을 때 나올 수 있는 경우의 수
원순열
- 순서를 가지되, 한 칸씩 이동할 때 같아지는 나열을 같은 나열로 취급하는 순열
- (A - B - C)와 (C - A - B)와 (B - C - A) 는 하나의 경우
중복순열
- 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 뽑아 나열하는 순열을 중복순열이라 한다
- ex. A, B, C 3명이 가위바위보 게임을 할 때 나올 수 있는 경우의 수
같은 것을 포함하는 순열
- n개중 같은 것을 각각 p개, q개, r개 포함하는 순열
- ex. 직교좌표계에서 출발지에서 도착지로 가는 최단경로의 경우의 수
- (이 문제는 조합으로 생각할 수도 있다. 12개의 빈칸중 위쪽 화살표가 들어갈 4자리를 선택하는 조합의 수)
조합
- 하나의 사건 안에 순서 개념이 없는 경우, 그 사건 하나하나를 조합이라 한다
- n개에서 r개를 뽑는 조합의 경우의 수를
nCr로 표기한다 - ex. 멤버중에 2명을 뽑는 경우의 수
조합의 성질
중복조합
- 중복을 허용한 조합
- ex. 인기투표
- 하트와 짝대기로 같은 것을 포함하는 순열로 생각할 수 있다
- 같은 것을 포함하는 순열은 조합으로 나타낼 수도 있다
확률
- 확률은 어떤 일이 발생할 것으로 기대되는 정도를 나타내는 수치를 말한다
- 확률은 크게 수학적(선험적) 확률과 통계적(경험적) 확률로 나뉜다
- 통계적 확률은 실제로 발생한 데이터를 이용해 확률을 구한다
- 수학적 확률은 데이터가 발생하기 전에, 수치화할 수 있는 사건의 확률을 구한다
- 여기서는 수학적 확률에 대해 얘기한다
표본 공간과 사건
- 시행(trial): 반복할 수 있고 결과가 우연에 좌우되는 실험이나 관측
- 표본 공간(sample space): 어떤 시행을 했을 때 일어날 수 있는 모든 결과를 모은 집합
- 사건(event): 표본 공간의 부분 집합
예: 주사위 던지기
시행: 주사위 던지기
표본 공간: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
사건: 짝수 눈이 나오는 경우 {2, 4, 6}
이 때 확률은 다음과 같이 표현된다
결합 확률(Joint Probability)
- 결합 확률(Joint probability)은 2개의 사건이 동시에 일어나는 확률
조건부 확률(Conditional Probability)
- 사건 A와 B가 독립사건이 아닌 경우, 두 사건이 모두 일어날 확률은 조건부 확률로 나타낸다
- 사건 A가 발생했을 때 사건 B가 발생할 조건부 확률을
P(B|A)로 나타낸다 - 조건부확률을 이용하면, 원인 A로 인해 발생한 결과 B의 확률을 통해 역으로 일어난 결과 B에 대해 그 원인이 A일 확률을 구할 수 있다
- ex. 전체 남자중에 색맹의 비율을 알면, 역으로 색맹인 사람에 대해 그 사람의 성별이 남자일 확률을 알 수 있다
주변 확률(Marginal Probability)
- 결합 확률을 하나의 확률 변수에 대해 적분함으로써 다른 확률 변수에 관한 확률로 나타낸다
배반사건과 독립사건
- 배반사건: 두 사건의 교집합이 공집합인 경우
- 독립 사건: 두 사건의 교집합의 확률이 각 사건의 확률의 곱과 같은 경우
- (사건 A의 발생이 사건 B의 발생 여부에 영향을 미치지 않는 경우)
